子数组累加和为aim(小于等于aim)的三个问题

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子数组累加和为aim(小于等于aim)的三个问题

  • 累加和 = aim的最长子数组的长度(数组可+,-,0)；
  • 累加和 = aim的最长子数组的长度(数组+)(只有正数)；
  • 累加和 <= aim的最长子数组的长度(数组可+,-,0)；

累加和 = aim的最长子数组的长度(数组可+,-,0)；

这个题目使用HashMap来存储前面出现过的累加和的下标，具体过程如下:

  • 使用变量sum表示从0位置开始一直加到i位置所有元素的累加和；
  • HashMap中key表示从arr最左边开始累加过程中出现过的sum值，value表示的是sum值出现最早的位置；、
  • 假设当前元素为arr[i]，则sum += arr[i]，之前所有累加和为sum ，查看map中是否有sum - aim这个值，如果有，且对应value为j，那么就找到一个子数组累加和为aim的，且长度为 i - j + 1；
  • 检查现在的sum 是否在map中出现，如果不存在，说明此时是第一次出现的，把(sum,i)加入到map中；
  • 继续遍历数组；

很重要的一个地方就是一开始map中要存(0,-1)这个值，直观理解是一个数也没有的时候也可以累加出0
看下面例子:
[1,2,3,3] ， aim = 6；
如果没有存(0,-1)，累加到下标为2的时候，sum = 6 此时，sum - aim = 6 - 6 = 0，但是没有0这个累加和，就会忽略； 

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/**　O(n)时间 O(n)空间 */
   static int getMaxLength(int[] arr,int aim){
       if(arr == null || arr.length== 0 )return 0;
       HashMap<Integer,Integer>map = new HashMap<Integer, Integer>(); //表示key这个累加和最早出现在value位置
       map.put(0,-1);     //这个很重要
       int sum = 0;
       int res = 0;
       for(int i = 0; i < arr.length; i++){
           sum += arr[i];
           if(map.containsKey(sum - aim)){ //如果之前出现了
               res = Math.max(res,i - map.get(sum - aim));
           }
           if(!map.containsKey(sum)){
               map.put(sum,i);
           }
       }
       return res;
   }

问题变式: 给定一个数组，求正数和负数个数相等最长子数组长度。
解: 把正数变成1，负数变成-1即可。

还有一个扩展问题:

题目:

定义数组的异或和的概念:
数组中所有的数异或起来，得到的结果叫做数组的异或和，比如数组{3, 2, 1}的异或和是: 3 ^ 2 ^ 1 = 0 。
给定一个数组arr，你可以任意把arr分成很多不相容的子数组，你的目的是: 分出来的子数组中，异或和为0的子数组最多。
请返回: 分出来的子数组中，异或和为0的子数组最多是多少?

解析: 可以利用这个思想找到最晚出现和0~i内异或和(假设为xor)同样异或和的更小的范围内最晚出现的位置，因为最后一个部分是异或和为0，且xor^0 = xor。
这里写图片描述

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/**
   * dp[i] = max(dp[i-1],dp[k] + 1) k表示的是i 如果是最优划分中的最后一个部分的最后一个数的话，k是那个部分的开始的地方的前一个
   * 从 0~i-1中异或还是  xor的最晚的位置  :
   * @param arr
   * @return
   */
  static int maxEor(int[] arr){
      HashMap<Integer,Integer>map = new HashMap<>();//存放某个异或和最晚出现的位置
      int res = 0,xor = 0;
      int[] dp = new int[arr.length];
      map.put(0,-1);
      for(int i = 0; i < arr.length; i++){
          xor ^= arr[i];
          if(map.containsKey(xor)){// 找到上一个异或和为xor的最晚出现的位置　　　因为xor^0 = xor
              int k = map.get(xor); //k
              dp[i] = k == -1 ? 1 : dp[k] + 1;
          }
          if(i > 0){
              dp[i] = Math.max(dp[i],dp[i-1]);
          }
          map.put(xor,i); //每次都要put进去
          res = Math.max(dp[i],res);
      }
      return res;
  }

累加和 = aim的最长子数组的长度(数组+)(只有正数)；

这个和上面唯一的不同就是数组中只有正数，这里使用类似窗口移动的做法，给出两个指针，L、R表示窗口的左右边界 ，sum表示的是arr[L,R]之间的累加和，L，R一直往右动。

  • 如果窗口内sum < aim，R就往右扩，并且sum += arr[R]；
  • 如果窗口内sum > aim，L 就往右扩，并且sum -= arr[L]；
  • 如果窗口内sum = aim， 就说明这个窗口内累加和为sum ，此时记录最大值即可；

这里写图片描述

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static int getMax(int[] arr,int aim){
    if(arr == null || arr.length == 0 || aim < 0)return 0;
    int L = 0,R = 0;
    int res = 0, sum = arr[0];
    while(R < arr.length){
        if(sum == aim){
            res = Math.max(res,R - L + 1);
            sum -= arr[L++];
        }else if(sum < aim){//小于等于就往右边扩
            if(++R == arr.length) break;
            sum += arr[R];
        }else {           // 大于就往左边扩  sum > aim
            sum -= arr[L++];
        }
    }
    return res;
}

累加和 <= aim的最长子数组的长度(数组可+,-,0)；

两个数组sum和ends，sum[i]表示的是以arr[i]开头(必须包含arr[i])的所有子数组的最小累加和，对应的ends[i]表示的是取得这个最小累加和的右边界。 一开始先求出sums数组和ends[]数组。
这里写图片描述

这个题目最精华的是左右边界不回退，就是说，如果从0位置扩到T区间，T+1区间不能扩了，此时不是回到1位置开始扩，而是舍弃0位置，看能不能由于舍弃0位置把T+1位置加进来：

这里写图片描述

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 static int getMaxLength2(int[] arr,int aim){
     if(arr == null || arr.length == 0)return 0;
     int[] sums = new int[arr.length]; //以arr[i]开头所有子数组的最小累加和
     int[] ends = new int[arr.length]; //取得最小累加和的最右边界
     sums[arr.length-1] = arr[arr.length-1];
     ends[arr.length-1] = arr.length-1;
     for(int i = arr.length - 2; i >= 0; i--){ //求出sums数组和ends数组
         if(sums[i+1] < 0){
             sums[i] = arr[i] + sums[i+1];
             ends[i] = ends[i+1];
         }else {
             sums[i] = arr[i];
             ends[i] = i;
         }
     }
     int sum = 0; //目前的累加和  sum -> R
     int R = 0;//每一次扩到的右边界
     int res = 0; //答案
     for(int start = 0; start < arr.length; start++){//每一次开头
         while(R < arr.length && sum + sums[R] <= aim){//一整块一整块的扩
             sum += sums[R];
             R = ends[R] + 1;
         }
         sum -= R > start ? arr[start] : 0;//如果R>start，下面start要++了，窗口内减去arr[start]
         res = Math.max(res,R - start);//窗口是start ~ R-1  ,所以是长度为R-start
         R = Math.max(R,start + 1);  //有没有可能扩不出去
     }
     return res;
}
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